Uniform bounds and exponential time decay results for the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck system

We consider the non-linear VPFP system with a coulombian repulsive interaction potential and a generic confining potential in space dimension d ≥ 3. Using spectral and kinetic methods we prove the existence and uniqueness of a mild solution with bounds uniform in time in weighted spaces, and for small total charge we find an explicit exponential rate of convergence toward the equilibrium in terms of the Witten Laplacian associated to the linear equation. Résumé: On considère le système de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck avec un potentiel Coulombien répulsif et un potentiel confinant générique en dimension d ≥ 3. Avec des méthodes spectrales et cinétiques on prouve l’existence et l’unicité d’une solution douce dans des espaces à poids, bornée uniformément en temps, et pour petite charge totale on trouve un taux de retour exponentiel explicite vers l’équilibre en fonction du Laplacien de Witten associé à l’équation linéaire.